Η Ευκλείδεια γεωμετρία, πέραν της αξίας της ως το πρώτο σημαντικό μαθηματικό αξιωματικό σύστημα, είχε μια σημαντική αδυναμία, η οποία ήταν να περιγράψει ικανοποιητικά καμπύλες και επιφάνειες στο επίπεδο και στον χώρο (εκτός βέβαια της περίπτωσης των ευθειών και των επιπέδων). Η μόνη εξαίρεση ήταν οι κωνικές τομές, οι οποίες αποτέλεσαν σημαντική συνεισφορά της αρχαιοελληνικής περιόδου στη γεωμετρία. Πέραν αυτών όμως, και ίσως κάποιων εξαιρέσεων ειδικών καμπυλών και ασυνήθιστων επιφανειών, δεν υπήρχε ίχνος κάποιας γενικότερης θεωρίας καμπυλών και επιφανειών. Η αιτία της αδυναμίας αυτής ήταν ότι οι αρχαίοι ΄Ελληνες γεωμέτρες δεν είχαν αναπτύξει την κατάλληλη γλώσσα προκειμένου να περιγράψουν τις έννοιες των καμπυλών και των επιφανειών και, κατ΄ επέκταση πιο περίπλοκες έννοιες, όπως αυτή της καμπυλότητας.
Κατά τη διάρκεια των αιώνων που ακολούθησαν, οι μαθηματικοί της Αλεξανδρινής περιόδου, καθώς και σημαντικοί Αιγύπτιοι και ΄Αραβες μαθηματικοί, μελέτησαν επαρκώς διάφορες απλές εξισώσεις, έως τη σημαντική συνεισφορά των Ιταλών αλγεβριστών (Cardano κ.ά.) στις αλγεβρικές εξισώσεις τρίτου και τέταρτου βαθμού. Το σημαντικό επιστημονικό άλμα επιτυγχάνεται με τον Καρτέσιο (Descartes) στις αρχές του 1600 με την ανακάλυψη των ομωνύμων καρτεσιανών συντεταγμένων. Οι καμπύλες και οι επιφάνειες μελετώνται πλέον με πολύ πιο αποτελεσματικά εργαλεία, μια και αντιμετωπίζονται ως σύνολα (γεωμετρικοί τόποι) μηδενισμού συναρτήσεων εκφραζόμενες σε καρτεσιανές συντεταγμένες. ΄Ετσι δίνεται η ευκαιρία να μελετηθούν μεγάλες οικογένειες καμπυλών και επιφανειών (λημνίσκοι, αστεροειδείς κ.λπ).
Παρόλες τις παραπάνω σημαντικές συνεισφορές, το κεντρικό μαθηματικό πρόβλημα που παρέμενε ανοικτό, ήταν η εύρεση ενός μαθηματικού τρόπου εξήγησης με ακρίβεια της διαφοράς μεταξύ καμπύλης γραμμής από ευθεία και επιφάνειας από επίπεδο. Τι ακριβώς σημαίνει καμπυλότητα μιας καμπύλης ή μιας επιφάνειας και πώς μπορεί αυτή να μετρηθεί;
Οι πρώτοι σπόροι της απάντησης τέθηκαν περί το δεύτερο μισό του 17oυ αιώνα με την ανακάλυψη του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού από τον Νεύτωνα και τον Leibnitz. Ο απειροστικός λογισμός προσέφερε σημαντικά εργαλεία για την αποτελεσματική μελέτη, μέτρηση και καθορισμό της συμπεριφοράς κινούμενων αντικειμένων. Για παράδειγμα, η τροχιά που ακολουθεί ένα αντικείμενο το οποίο κινείται σε ένα επίπεδο ή στο χώρο, παρίσταται από μια καμπύλη. ΄Ενα σημείο κινείται σε μια ευθεία εάν και μόνο εάν το διάνυσμα της ταχύτητάς του δεν αλλάζει διεύθυνση. Επιπλέον, όσο πιο γρήγορα μεταβάλλεται η διεύθυνση του εφαπτόμενου διανύσματος της ταχύτητας τόσο πιο πολύ η καμπύλη ‘‘καμπυλώνεται’’, δηλαδή διαφέρει από την ευθεία γραμμή. Ως γνωστόν, ο διαφορικός λογισμός οφείλει την ύπαρξή του στην ανάγκη να μετρηθούν μεταβολές, άρα έχουμε μπροστά μας μια σημαντική εφαρμογή, το μήκος του διανύσματος της επιτάχυνσης μια καμπύλης. Εδώ υποθέτουμε ότι το σημείο κινείται επί μιας καμπύλης της οποίας το μέτρο του διανύσματος της ταχύτητας είναι σταθερό, υπόθεση που, όπως θα δούμε, είναι πάντα δυνατόν να κάνουμε.
Η ανάπτυξη της διαφορικής γεωμετρίας των καμπυλών και επιφανειών κατά τον 18o και 19o αιώνα ήταν πλέον ραγδαία. ΄Ολες οι σημαντικές τεχνικές του απειροστικού λογισμού χρησιμοποιούνται πλέον αποτελεσματικά από την Γαλλική σχολή γεωμετρών (Clairaut, κ.ά.) προκειμένου να αποδειχθούν τα ονομαζόμενα θεμελιώδη θεωρήματα της τοπικής θεωρίας των καμπυλών και επιφανειών, τα οποία αναφέρουν ότι τα καινούργια μαθηματικά εργαλεία μπορούν να καθορίσουν πλήρως όλες τις τοπικές (local) ιδιότητες των καμπυλών και επιφανειών.
Παρόλα αυτά, αν και η θεωρία υποστηρίζει ικανοποιητικά τη μελέτη των καμπυλών στο χώρο, παρουσιάζει διάφορα μειονεκτήματα στην ολική (global) μελέτη των επιφανειών. Με άλλα λόγια, αν και σε μακροκλίμακα θα μπορούσαμε να πούμε ότι οι καμπύλες είναι ουσιαστικά ευθείες και τμήματα κύκλων που έχουν συστραφεί στο χώρο, το να λέγαμε ότι μια επιφάνεια προέρχεται από μια λεία παραμόρφωση ενός επιπέδου, αν και επαρκές για υπολογισμούς σε τοπικό επίπεδο, σε καμία περίπτωση δεν μας επιτρέπει να μελετήσουμε τις βαθύτερες ιδιότητες των επιφανειών, πέραν μιας απλής μέτρησης της καμπυλότητάς τους σε ένα σημείο.
Ο μαθηματικός ο οποίος είχε πρώτος κατανοήσει τις δυσκολίες αυτές ήταν ο Carl Friedrich Gauss, ο οποίος με δύο από τα πιό σημαντικά θεωρήματα της κλασικής διαφορικής γεωμετρίας όχι μόνο συνεισέφερε στη θεωρία επιφανειών το μέγιστο δυνατό, αλλά έθεσε και τις βάσεις για τη μελλοντική ερευνητική ανάπτυξη του κλάδου.
Με το πρώτο θεώρημα, το ονομαζόμενο Θαυμαστό Θεώρημα (Theorema Egregium), ο Gauss απέδειξε το εξής σημαντικό αποτέλεσμα: Αν και για την περίπτωση των καμπυλών, ένας παρατηρητής που βρίσκεται επάνω σε μια καμπύλη δεν μπορεί να αναγνωρίσει αν βρίσκεται σε ευθεία ή σε καμπύλη (δηλαδή θεωρεί ότι όλες οι καμπύλες είναι ίδιες), δεν συμβαίνει το ίδιο για την περίπτωση των επιφανειών. ϒπάρχει ένα είδος καμπυλότητας (καμπυλότητα Gauss), η οποία μπορεί να μετρηθεί αποκλειστικά από έναν παρατηρητή επάνω στην επιφάνεια και η οποία ενδεχομένως διαφέρει από επιφάνεια σε επιφάνεια. Με άλλα λόγια, είναι δυνατόν να καταλάβουμε ότι η γη είναι σφαιρική χωρίς να ταξιδέψουμε στο διάστημα.
Το δεύτερο θεώρημα, γνωστό ως Θεώρημα των Gauss-Bonnet, επειδή συμπληρώθηκε από τον μαθητή του Gauss τον Pierre Bonnet, αναφέρει ότι η μελέτη τοπικών ιδοτήτων μιας επιφάνειας δεν επαρκεί για την κατανόηση φαινομένων που σχετίζονται με την επιφάνεια σε ολικό επίπεδο. Μια συνέπεια του θεωρήματος Gauss-Bonnet είναι ότι, όσο και να παραμορφώσουμε στο χώρο μια επιφάνεια (χωρίς να τη σκίσουμε) ώστε να μεταβάλεται τοπικά η καμπυλότητα Gauss, το ολοκλήρωμα της καμπυλότητας Gauss επί ολόκληρης της επιφάνειας παραμένει σταθερό.
΄Ενα άλλο σημαντικό σημείο, όπου αναδεικνύεται η σύνδεση μεταξύ τοπικών και ολικών ιδιοτήτων μιας επιφάνειας, είναι στη μελέτη καμπυλών επάνω στην επιφάνεια. ΄Ενα σημαντικό πρόβλημα της κλασικής διαφορικής γεωμετρίας (με άμεσες πρακτικές εφαρμογές) είναι η αναζήτηση καμπυλών σε μια επιφάνεια οι οποίες ελαχιστοποιούν το μήκος μεταξύ δύο σημείων της (γεωδαισιακές καμπύλες). Σημαντικά ερωτήματα εδώ είναι κατά πόσον οι γεωδαισιακές καμπύλες υπάρχουν, ή αν είναι δυνατόν δύο κοντινά μεταξύ τους σημεία σε μια επιφάνεια, να συνδεθούν με μια και μοναδική γεωδαισιακή. Αν τα σημεία βρίκονται μακριά το ένα από το άλλο, τότε μπορεί να υπάρχουν άπειρες γεωδαισιακές που να τα συνδέουν ή και καμία. Ο απειροστικός λογισμός δεν προσφέρεται ιδιαίτερα για τη μελέτη τέτοιων προβλημάτων. ΄Ετσι, φτάνουμε στον 20o αιώνα και την ανάπτυξη της τοπολογίας (Poincaré κ.ά.), η οποία αποδεικνύεται ως το τέλειο μαθηματικό πλαίσιο για τη μελέτη ολικών ιδιοτήτων μιας επιφάνειας. Για παράδειγμα, το θεώρημα των Hopf-Rinow αποτελεί ένα τέτοιο αποτέλεσμα.
Στο σημείο αυτό αρχίζει μια άλλη ενδιαφέρουσα ιστορία (την οποία δεν θα αναπτύξουμε εδώ) με πρωταγωνιστή τον Bernhard Riemann, ο οποίος χρησιμοποίησε τις βασικές ιδέες του Gauss από τη θεωρία επιφανειών για να τις επεκτείνει σε n-διάστατα αντικείμενα γνωστά ως πολλαπλότητες (manifolds). Οι πολλαπλότητες αποτελούν την γλώσσα της σύγχρονης διαφορικής γεωμετρίας, με εφαρμογές και σε άλλους κλάδους των μαθηματικών όπως μαθηματική φυσική (π.χ. γενική θεωρία σχετικότητας), αρμονική ανάλυση, αλλά και σε άλλες επιστήμες, όπως οικονομικά, στατιστική, θεωρία ελέγχου, επιχειρησιακή έρευνα, κ.ά. Επιπλέον, ο Riemann απέδειξε ότι οι ονομαζόμενες μη Ευκλείδειες γεωμετρίες μπορούν να θεωρηθούν ως ιδιαίτερες γεωμετρίες επιφανειών, οι οποίες δεν εμφυτεύονται απαραίτητα σε κάποιον Ευκλείδειο χώρο (π.χ. προβολικός χώρος). Τα θέματα αυτά παρουσιάζονται στο βιβλίο μου Γεωμετρία Πολλαπλοτήτων: Πολλαπλότητες Riemann και Ομάδες Lie, Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών Βιβλιοθηκών, Αθήνα 2015.
Η δομή του παρόντος βιβλίου έχει ως εξής: Το Κεφάλαιο 1 ασχολείται με τη θεωρία των καμπυλών στο επίπεδο και στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο. Στο Κεφάλαιο 2 δίνουμε τον ορισμό της κανονικής επιφάνειας στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο. Δίνουμε τοπικό ορισμό της επιφάνειας (μέσω μιας τοπικής παραμέτρησης), καθώς και ολικό ορισμό αυτής (υποσύνολο του ℝ3 το οποίο τοπικά είναι ομοιμορφικό με ανοικτο υποσύνολο του ℝ3). Ο εφαπτόμενος χώρος σε ένα σημείο μιας επιφάνειας μελετάται στο Κεφάλαιο 3, όπου ορίζουμε και το διαφορικό μιας λείας απεικόνισης μεταξύ επιφανειών. Το γνωστό θεώρημα αντίστροφης απεικόνισης για Ευκλείδειους χώρους μεταφέρεται στις επιφάνειες σχετικά εύκολα. Από το Κεφάλαιο 4 αρχίζει το καθαρά γεωμετρικό μέρος του βιβλίου, όπου ορίζουμε την πρώτη θεμελιώδη μορφή, δηλαδή ένα εσωτερικό γινόμενο στον εφαπτόμενο χώρο σε ένα σημείο μιας επιφάνειας, το οποίο επάγεται από το Ευκλείδειο εσωτερικό γινόμενο του ℝ3. Η κεντρική έννοια της θεωρίας επιφανειών, η καμπυλότητα Gauss, ορίζεται στο Κεφάλαιο 5 μέσω της απεικόνισης Gauss, το διαφορικό της οποίας σε ένα σημείο μιας επιφάνειας ονομάζεται τελεστής σχήματος.
Το πρώτο σημαντικό αποτέλεσμα της θεωρίας επιφανειών, το Θαυμαστό Θεώρημα (Theorema Egregium) του Gauss, παρουσιάζεται στο Κεφάλαιο 6 και οι εξισώσεις δομής (Codazzi και Gauss) στο Κεφάλαιο 7. Στο Κεφάλαιο 8 ασχολούμαστε με το θέμα της παραλληλίας ενός εφαπτόμενου διανύσματος σε μια επιφάνεια, ορίζοντας τη συναλλοίωτη παράγωγο ενός διανυσματικού πεδίου. Στο Κεφάλαιο 9 μελετάμε γεωδαισιακές καμπύλες σε μια επιφάνεια, δηλαδή καμπύλες οι οποίες τοπικά ελαχιστοποιούν την απόσταση μεταξύ δύο σημείων αυτής. Στο Κεφάλαιο 10 παρουσιάζουμε το δεύτερο σημαντικό αποτέλεσμα της θεωρίας επιφανειών, το Θεώρημα των Gauss-Bonnet, το οποίο συνδέει τη γεωμετρία με την τοπολογία μιας επιφάνειας. Το θεώρημα αυτό γενικεύεται σε περισσότερες διαστάσεις και αποτελεί κλειδί για πολλές σημαντικές κατευθύνσεις στη σύγχρονη διαφορική γεωμετρία. Τέλος, στο Κεφάλαιο 11 παρουσιάζουμε κάποια θεωρήματα (χωρίς απόδειξη) σχετικά με την ταξινόμηση των κλειστών επιφανειών σταθερής καμπυλότητας Gauss (θετική, μηδέν, ή αρνητική), καθώς και την ταξινόμηση των εκ περιστροφής επιφανειών με σταθερή καμπυλότητα Gauss. Τα θεωρήματα αυτά είναι από τα πιο δύσκολα θεωρήματα της διαφορικής γεωμετρίας.